Esfera de Riemann

En matemàtiques, l'esfera de Riemann (o pla complex estès), que pren el nom del matemàtic del segle xix Bernhard Riemann,^[1] és una esfera que s'obté a partir del pla complex afegent-hi un punt a l'infinit. L'esfera és la representació geomètrica de l'extensió dels nombres complexos ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$, que consisteix en els nombres complexos juntament amb el símbol ${\displaystyle \infty }$ que representa l'infinit.

Aquesta extensió dels nombres complexos és útil en anàlisi complexa perquè permet la divisió per zero en certes condicions, d'una manera que fa que igualtats com ${\displaystyle {\frac {1}{0}}=\infty }$ tinguin un bon comportament. Per exemple, qualsevol funció racional del pla complex es pot estendre a una funció contínua a l'esfera de Riemann, en la qual la imatge dels pols de la funció racional és l'infinit. En general, qualsevol funció meromorfa es pot entendre com una funció contínua el codomini de la qual és l'esfera de Riemann.

En geometria, l'esfera de Riemann és l'exemple prototípic d'una superfície de Riemann i és una de les varietats complexes més simples. En geometria projectiva, l'esfera pot veure's com la recta projectiva complexa ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} )}$, l'espai projectiu format per totes les rectes complexes de ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$. Com la resta de superfícies de Riemann compactes, l'esfera també es pot obtenir com a corba algebraica projectiva, que serveix com a exemple fonamental en la geometria algebraica. També té utilitat en altres disciplines que depenen de l'anàlisi i la geometria, com ara la mecànica quàntica i altres branques de la física.